Sistem Persamaan Dan Pertidaksamaan Linear

A.Persamaan Linier

1.    Persamaan linier 1 variabel

2.    Persamaan linier 2 variabel

3.    Persamaan linier 3 variabel

B.Pertidaksamaan Linier

1.    Pertidaksamaan linier 1 variabel

2.    Pertidaksamaan linier 2 variabel

1.Persamaan linier 1 variabel

Kalimat matematika mengandung satu peubah atau lebih yang di hubungkan oleh relasi ( = ).

Contoh:

 X + 2  = 5

Menyelesaikan suatu persamaan merupakan suatu proses mencari suatu bilangan sehingga persamaan tersebut menjadi proporsi benar. Bilangan yang menjadikan persamaan itu menjadi proporsi benar disebut JAWAB persamaan tersebut. Himpunan semua selesaian suatu persamaan disebut HIMPUNANA SELESAIAN.

Contoh : X + 2 = 5

                   X   = 3

Jadi 3 merupakan himpunan selesaian.

            Bentuk persamaan linier dengan 1 variabel adalah ax + b = c dengan a;b; dan c adalah bilangan real, dan a≠0.Untuk penyelesaiaanya yaitu dengan cara :

ax + b = c ;

 ax + b – b = c – b

ax/a = (c-b)/a

x = (c-b)/a

            Jadi himpunan penyelesaianya  (c-b)/a

            Pada prinsipnya menyelesaikan suatu persamaan adalah mencari persamaan lain yang ekuivalen dengan persamaan tersebut. Persamaan dikatakan ekuivalen jika mempunyai himpunan penyelesaiaan yang sama.

Contohnya : 3x + 5 = 8

                        3x = 3          X   = 1

Untuk menetukan persamaan yang ekuivalen, kita perlu menggunakan sifat- sifat yang berlaku pada sistem bilangan real. Sifat pada bilangan real yang sering digunkan adalah:

1.      Jika a ; b ; dan c adalah bil;angan real, dan a=b, maka a+c = b +c

2.      Jika a ; b ; dan cadalah bilanagan real, dan c≠0 dan a = b, maka ac=bc

Contoh soal persamaan linier 1 variabel :

1.  3x + 5 = 8
2. 7x- 3 = 5x + 9
3. 4(y – 1) + (y + 2)= 3 (y – 8)

Penyelesaiaan

1.      3x + 5 = 8

3x + 5 = 8

3x + 5 + (-5) = 8 + (-5)      (kedua ruas ditambah -5)

3x = 3

⅓ (3x) = ⅓ . 3                      (kedua ruas dikalikan ⅓)

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah (1)

2.   7x- 3 = 5x + 9

7x – 3 = 5x + 9

7x – 3 + (-5x) = 5x + 9 + (-5x)

2x – 3 = 9

2x – 3 + 3 = 9 + 3

2x = 12

⅟2 (2x) = ⅟2 (12) = 6

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah (6)

3.      4(y – 1) + (y + 2)= 3 (y – 8)

4(y-1) + 5(y+2) = 3(y-8)

4y – 4 + 5y + 10 = 3y – 24

9y + 6 = 3y – 24

9y + 6 + (-3y) = 3y – 24 +(-3y)

6y + 6 = -24

6y + 6 +(-6) = -24 + (-6)

6y = -30

Y = -5

2.Persamaan linier 2 variabel

Persamaan yang hanya memiliki dua variabel dan masing-masing variabel berpangkat satu. Bentuk umum persamaan linier dengan 2 variabel adalah ax + by = c, dengan a , b , dan c adalah bilangan real (a ≠ 0 atau b ≠ 0 ), x dan y adalah variabel.

Dapat diselesaikan dengan 4 cara yatu ;

a.Grafik

 Secara geometri persamaan linear dua  variabel ax + by = c dapat digambarkan sebagai sebuah garis. Hal ini berarti sistem persamaan linear dua variabel yang terdiri dari dua persamaan dapat digambarkan sebagai dua buah garis dan pasangan bilangan (x,y) yang memenuhi kedua persamaan adalah titik potong garis tersebut.

Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan metode grafik !

•      x + y = 2

•      3x + y = 6

Langkah pertama , menentukan titik potong terhadap sumbu x dan y pada masing- masing persamaan linier 2 variabel.

1. Persamaan x + y =2

      Titik potong dengan sumbu x, berarti y = 0

      x + y = 2

      x + 0 = 2

           x   = 2

      Diperoleh titik potong dengan sumbu x  di titik ( 2, 0)

      Titik potong dengan sumbu y, berarti x = 0

      x + y = 2

      0 + y = 2

           y = 2

      Diperoleh titik potong terhadap sumbu y di titik ( 0, 2 )

2. Persamaan 3x + y = 6 

            Titik potong dengan sumbu x, berarti y = 0

            3x + y = 6

            3x + 0 = 6

                        x   = 2

            Diperoleh titik potong dengan sumbu x  di titik ( 2, 0)

            Titik potong dengan sumbu y, berarti x = 0

            3x + y = 6

            0 + y = 6

                  y = 6

            Diperoleh titik potong terhadap sumbu y di titik ( 0, 6 )

Langkah kedua adalah menggambar ke dalam bidang koordinat Cartesius.

1. Persamaan x + y = 2 memiliki titik potong di (2, 0) dan (0, 2)
2. Persamaan 3x + y = 6 memiliki titik potong di (2, 0) dan (0, 6)

b.Subtitusi

Penyelesaian SPLDV menggunakan metode substitusi dilakukan dengan cara menyatakan salah satu variabel dalam bentuk variabel yang lain kemudian nilai variabel tersebut menggantikan variabel yang sama dalam persamaan yang lain.

Contoh soal;

            Gunakan metode subtitusi, tentukan SPLDV berikut :

1. 3x + y = 7
2. X + 4y = 6

Langkah pertama, tulis masing- masing dalam bentuk persamaan 1 dan 2

3x + y = 7 ………….(1)

x + 4y = 6 ………….(2)

Langkah kedua pilih salah 1 persamaan, misalkan persamaan 1, kemudian nyatakan salah 1 variabelnya dalam bentukn variabel lain

            3x + y = 7

                            y = 7 – 3x …………(3)

Langkah ketiga, nilai variabel pada persamaan ketigamenggantikan variabel y pada persamaan 2

            x + 4y = 6

            x + 4(7 – 3x) = 6

            x + 28 – 12x = 6

            x – 12x = 6 – 28

            -11x = -22

            x = 2 …………(4)

Langkah keempat, masukan nilai x pada salah satu persamaan

            3x + y = 7

            3(2) + y = 7

            6 + y = 7

                        y   = 7 – 6

                        y   = 1

            Dari uraian tersebut dapat dituliskan

            HP = { 2, 1}

c.Eliminasi

Berbeda dengan metode substitusi yang mengganti variabel, metode eliminasi justru menghilangkan salah satu variabel untuk dapat menentukan nilai variabel yang lain. Dengan demikian, koefisien salah satu variabel yang akan dihilangkan haruslah sama atau dibuat sama.

            Gunakan metode eliminasi untuk menentukan penyelesaian SPLDV berikut

            x + y = 7

            2x + y = 9

            Langkah pertama menghilangkan 1 variabel dari SPLDV tersebut. Misalkan variabel Y yang akan dihilangkan, maka kedua persamaan harus dikurangkan

              x + y = 7

            2x + y = 9

            -x        = -2

            X        = 2

            Langkah kedua, masukan variabel x ke salah 1 persamaan.

            x + y = 7

            2 + y = 7

                        y = 5

           

            Dari uraian tersebut dapat diperoleh

            HP = { 2, 5}

d.Determinan

3.Persamaan linier 3 variabel

Persamaan yang memiliki tiga variabel dan masing-masing variabel berpangkat satu.
Bentuk umum:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Persamaan linier dapat diselesaikan dengan cara:

1.      Eliminasi

2.      Determinan

Pertidaksamaan linier  variable

1.Pertidaksamaan linier 1 variabel

Suatu kalimat matematika yang mengandung satu atau lebih variabel dan relasi < ; > ; ≤ dan ≥.  Bentuk umum pertidksamaan linier satu variabel adalah  ax + b < 0 ; ax + b > 0 ; ax + b ≥0 ax + b ≤ 0. Seperti halnya persamaan, menyelesaikan suatu bpertidaksamaan merupakan suatu proses mendapatkan suatubilangan sehingga pertidaksamaan tersebut menjadi proporsi benar. Biasanya himpunan penyelesaian dari suatu pertidaksamaan merupakan bilangan tak hingga. Contoh :

5x + 2 > 8

5x + 2 - 2 > 8 - 2

5x > 6

x > 6 : 5

x > 1 1/5

Sifat - sifat yang sering digunkan adalah:

1. Jika a ; b ; dan c adalah bil;angan real, dan a< b, maka a+c < b +c
2. Jika a ; b ; dan cadalah bilanagan real, dan c>0 dan a < b, maka ac<bc, dan jika c<0, maka ac>bc

Contoh soal :

1. 2x + 5y > 9
2. X + 2 < 3

Penyelesaiaan :

1.  2x + 5 > 9

2x + 5 – 5 > 9 – 5

2x > 4

X > 2

2. -x + 2 < 3

-x + 2 – 2 < 3 – 2

-x < 1

X > -1

2.Pertidaksamaan 2 variabel

Bentuk umum pertidaksamaan linier dengan 2 variabel adalah:

ax + by >  c ;

ax + by ≥ c ;

ax + by < c ;

ax + by ≤ c , dengan a, b, dan c bilangan real, a ≠ 0 atau b ≠ 0

Posted in: Materi, Semester 2